อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics
ขออีกข้อครับ
ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ $7p+3^p-4$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
|
ตอนนี้มีแต่วิธีที่ใช้เครื่องมือหนักครับ
$p=2,3$ เห็นได้ชัด
สมมติ $p\geq 5$ และ $7p+3^p-4=x^2$ สำหรับบาง $x\in\mathbb{Z}$
$x^2= 7p+3^p-4\equiv -p-1\pmod{4}$
แต่ $x^2\equiv 0,1\pmod{4}$
จึงได้ $-p-1\equiv 0,1\pmod{4}$
เนื่องจาก $p$ เป็นจำนวนเฉพาะจะได้ว่า $p\equiv 3\pmod{4}$ เท่านั้น
จาก Fermat's Little Theorem จะได้ว่า $3^p\equiv 3\pmod{p}$
ดังนั้น $x^2=7p+3^p-4\equiv -1\pmod{p}$
แต่สมการ $x^2\equiv -1\pmod{p}$ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มถ้า $p\equiv 3\pmod{4}$
จึงเกิดข้อขัดแย้ง