[PP_nine]

จากเว็บที่คุณ nooonuii มาโพส วิธีนี้ก็เจ๋งดีนะครับ

พิจารณาสมการ sin(z)=0 ซึ่งกระจาย taylor's series ได้ $z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...=0$

เอาเฉพาะคำตอบที่ไม่ใช่ 0 ได้สมการเป็น $1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+...=0$

ให้ $w=z^2$ สมการคือ $1-\frac{w}{3!}+\frac{w^2}{5!}-\frac{w^3}{7!}+...=0$ ซึ่งรากสมการคือ $z=\pi,2\pi,3\pi,...$

ดังนั้น $\frac{1}{3!}=\frac{1}{(\pi)^2}+\frac{1}{(2\pi)^2}+\frac{1}{(3\pi)^2}+...$ (Vieta's formula)

จึงได้ $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$