[size="6"]ก่อนเริ่มทำเราข้อชี้แจงก่อนนะครับ"เราจะนำข้อสอบมาโพสเรื่อยๆนะครับ มาติดตามกันบ่อยนะ(มันเป็นข้อสอบไม่ใหม่่มากนะ) อยากให้ช่วยเฉลยหน่อยเพราะบางข้อเราทำไม่ได้หรือดูเฉลยแล้วไม่เข้าใจ ถ้ามีคำแนะนำดีๆก็บอกกันได้นะครับเพราะเราเพิ่งเริ่มโจทย์พวกนี้ขอบคุณครับ
1.ให้ 500<n<1000 โดยที่ n หารด้วย 4,6,7เหลือเศษ3เท่ากันหมด และnหารด้วย5ลงตัว จงหาค่าn(ข้อสอบมหิดล)
เนื่องจาก ค.ร.น.ของ4,6,7 เท่ากับ84?
กำหนด nหารด้วย4,6,7เหลือเศษ3เท่ากันหมด
; n=84t+3 โดยที่ t เป็นจน.เต็มบวก และnหารด้วย5ลงตัว
ดังนั้น $\frac{84t+3}{5}$=$\frac{85t-t+3}{5}$=$17t-\frac{t-3}{5}$
ทำให้ $\frac{t-3}{5}$ ได้ผลลัพธ์เป็นจน.เต็ม(หมายความว่าอย่างไร)
กำหนด$k=\frac{t-3}{5};t$=5k+3 โดยที่ k เป็นจน.เต็มบวก(อธิบายตรงนี้ด้วยนะ
แทนค่า t?ใน?n=84t+3 ; n=84(5k+3)+3
n=420k+255
แต่500<n<1000ทำให้ k=1?
ดังนั้น n=420(1)+255=675
มีมาเพิ่ม
2.$(2^{(-2)^{(-2)}})^{(-2)^{(-2)^2}}$มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้(โอลิมปิกรอบแรก)
=$\binom{1}{2^{2^{(-2)^2}}}^{(-2)^4}$
=$(2^\frac{1}{4})^{16}$
=$2^4$
=16
เราอยากถามว่า$\binom{1}{2^{2^{(-2)^2}}}^{(-2)^4}$ทำอย่างไรถึงออกมาเป็นแบบนี้แล้วกลายมาเป็น$2^\frac{1}{4})^{16}$ได้อย่างไรขอบคุณครับ
3.จน.หลักของ $8^{16}\cdot5^{40}$ เป็นเท่าใด (โอลิมปิกรอบแรก)
เนื่องจาก $N=A\cdot10^n$ โดยที่ 1<A<10 และnเป็นจน.เต็มบวก N จะมีจน.หลักเท่ากับ n+1 หลัก(ทำไมต้องบวก1)
พิจารณา $8^{16}\cdot5^{40}$ ? ? =$(2^3)^{16}\cdot5^{40}$
=$2^{48}\cdot5^{50}$
=$2^8\cdot2^{40}\cdot5^{40}$
=$256\cdot10^{40}$
=$2.56\cdot10^{42}$
ดังนั้น?$8^{16}\cdot5^{40}$?มีทั้งหมด 42+1=43
โจทย์ข้อนี้มันเกี่ยวกับสัญญากรวิทยาศาสตร์ด้วยขอบคุณครับ
มีมาเพิ่ม
4.จงหาจน.เต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าเท่ากับ $\frac{10^{33}}{10^{31}+3}$ (สอวน.)
พิจารณา $\frac{10^{33}}{10^{31}+3}$
=$\frac{(10^{33}+3\cdot10^2)-3\cdot10^2}{10^{31}+3}$
=$\frac{10^2(10^{31}+3)-3\cdot10^2}{10^{31}+3}$
=$10^2-\frac{3\cdot10^2}{10^{31}+3}$
กำหนด x = $\frac{3\cdot10^2}{10^{31}+3}$ ($10^2$กับ-หายไปไหนและก็อธิบายข้อความต่อไปนี้ด้วยครับ)
0<x<1
-1<-x<0
100-1<100-x<100-0
99<x<100
ดังนั้นจน.เต็มที่มากที่คือ 99
5.มีตัวเลขจน.เต็มที่อยู่ระหว่าง 0-200 กี่จน.ที่หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 9 (อันนี้ไม่รู้ว่าเป็นข้อสอบของอะไรขอโทษด้วย)
จาก ตัวเลขจน.เต็มที่อยู่ระหว่าง 0-200 ที่หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 9 ดังนี้ 9,20,31,42,53,64,75,86,97,108,119,130,141,152,163,174,185,196 สรุปได้ว่า ตัวเลขจน.เต็มที่อยู่ระหว่าง 0-200 มีที่หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 9 ทั้งหมด 18จน. (ใครพอจะมีวิธีที่ดีกว่านี้ไหม เพราะถ้าใช้วิธีนี้มันช้าและยากมาก)
มีมาเพิ่ม (24/ก.ค./2554)
6.ให้ N = 1?1!+2?2!+3?3!+...+20?20! จงหาผลบวกของจน.เฉพาะทุกจน.ที่เป็นตัวประกอบของ N+1 (สอวน.)
N = 1?1!+2?2!+3?3!+...+20?20!
?? =(2-1)1!+(3-1)2!+(4-1)3!+...+(21-1)20!
?? =2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+21!-20!
?? =21!-1! ? <---- ทำไมมันมีค่าเท่านี้ เพราะทุกอันมันลบกันแต่ละคู่จะมีค่าเท่ากับ 1! ไม่ใช่หรอครับ?
?? =21!-1
ดังนั้น N+1=21!
....
....
7."สูตรของเลอจองดร์ นอกจากการหาว่ามีเลขศูนย์ลงท้ายกี่ตัวแล้ว ยังใช้ทำอะไรได้อีก?(อันนี้อยากรู้สับสนมาก)
มีมาเพิ่ม(25/กค./2554)
8.กำหนดให้ n! = n(n-1)(n-2)...3?2?1 เมื่อให้ n เป็นจน.เต็มบวก $(1!+2!+3!+...+2547!)^{(2!+3!+4!+...+2547!)^{(3!+4!+5!+...+2547!)^{...(2547)!}}}$ = A?$10^n& เมื่อ $2\leqA<10$ และ n เป็นจน.เต็มของทศนิยมหลักสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 คือเลขใด (โครงการสรรหานร.ที่มีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์)
เนื่องจาก 1!+2!+3!+...+2547! จะมีเลขลงท้ายด้วย 3
กำหนด x = $(1!+2!+3!+...+2547!)^{(2!+3!+4!+...+2547!)^{(3!+4!+5!+...+2547!)^{...(2547)!}}}$
?? ? ? ? x = $(เลขลงท้ายด้วย 3)^{(2!+3!+4!+...+2547!)^{(3!+4!+5!+...+2547!)^{...(2547)!}}}$
เนื่องจาก 4 หาร 4!,5!,6!,...ลงตัวเพราะมี 4 เป็นตัวประกอบ
และ 2!+3!=8 ดังนั้น 4 หารลงตัว
; (2!+3!+4!+...+2547!)^h หารด้วย 4 ลงตัว เมื่อ h\geq1 และ h เป็นจน.เต็ม จะเห็นว่า x ลงท้ายด้วย 1
เมื่อจัดรูป x ให้อยู่ในรูป A?10^n ?จะได้ทศนิยมหลักสุดท้ายของ A คือ 1
เราอยากถามว่า?
8.1.ทำไมต้องใช้ 4 หาร (บอกด้วยว่า4มาจากไหน)
8.2.แล้วทำไมต้องยกกำลัง h แล้ว h มันคืออะไร
8.3.ทุกตัว 4 หารลงตัวหมด ยกเว้น 1! ใช่ไหม ถ้าใช่ช่วยอธิบายด้วยว่าหารไม่ลงตัวเพราะอยู่ในนรูป $\frac{1}{4}$ ใช่หรือไม่ครับ (ต้องขอโทษนะที่ถามอย่างละเอียด เพราะว่าเราไม่มั่นใจในหนังสือน่ะมันพิมผิดบ่อย ขอบคุณครับ)