วันนี้มาเซิร์ฟๆซักข้อนึงก่อน เอาข้อ 3 ที่ดูน่ามึนงงสุด แต่ไม่ถึงกับยากสุดละกัน
อ้างอิง:
|
3. หา $x,y \in \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง $tan^2(x+y)+cot^2(x+y)=1-2x-x^2$ (ทุนคิง 49)
|
ให้ $tan(x+y)=k$ ฉะนั้น $LHS=k^2+\frac{1}{k^2}$
จาก $(k-\frac{1}{k})^2 \ge 0$ จัดรูปได้ $k^2+\frac{1}{k^2} \ge 2$ ทุกจำนวนจริง $k\not= 0$
จึงได้ว่า $1-2x-x^2 \ge 2$ จัดรูปเป็น $0 \ge (x+1)^2$ แต่ x เป็นจำนวนจริงจึงมีเพียง $x=-1$ ที่สอดคล้องอสมการดังกล่าว
และได้ว่า $k^2+\frac{1}{k^2}=2$ ซึ่งโดยอสมการแรกบอกว่าเป็นสมการเมื่อ $k=\frac{1}{k}$ ทำให้ $tan^2(x+y)=1$
$tan(y-1)=\pm 1$ ต่อจากนี้ก็ง่ายแล้วครับ โจทย์เจ๋งดี
(ถ้าใครเรียน สอวน ค่าย 1 จะเข้าใจวิธีทำนี้ดีโดย AM-GM)
ส่วนข้อที่ผมคิดว่ายากน่าจะเป็นข้อ 7 ที่ผมคิดมาเองแหละ
