วันนี้ขอเฉลยข้อที่แอบซ่อน lemma อะไรบางอย่างไว้ (lemma นี้เคยออกข้อสอบ สอวน ค่ายสอง กทม ปีใดปีหนึ่งนี่แหละ)
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine
5. กำหนด $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$ ซึ่ง $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ หาค่าสูงสุดของ k ซึ่งสอดคล้องกับ $|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1| \ge k|z_1+z_2+z_3|$ (ทุนคิง 44)
|
lemma ที่ว่านั้นคือ กำหนด $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$ ซึ่ง $|z_1|=|z_2|=|z_3|=r$ แล้ว $$\left|\, z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1 \right| =r \left|\,z_1+z_2+z_3\right| $$
พิสูจน์โดยใช้คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนคือ $|z|^2=z \cdot \bar{z}$ โดยยกกำลังสองแต่ละข้างจะได้
$LHS^2=(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)( \bar{z_1} \bar{z_2} + \bar{z_2} \bar{z_3} + \bar{z_3} \bar{z_1} )=3r^4+r^2\left(\,z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_3} + z_3 \bar{z_1} + \bar{z_1} z_2+ \bar{z_2} z_3 + \bar{z_3} z_1\right)$
$RHS^2=(z_1+z_2+z_3)( \bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} )=r^2\left[\,3r^2+( z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_3} + z_3 \bar{z_1} + \bar{z_1} z_2 + \bar{z_2} z_3 + \bar{z_3} z_1 )\right] $
จึงได้ว่า LHS=RHS ก็จบการพิสูจน์
ฉะนั้น k ที่มากที่สุดซึ่งสอดคล้องอสมการ $|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1| \ge k|z_1+z_2+z_3|$ คือ 1