ผมรอคนมาทำนานแล้ว เลยอยากเฉลยให้จบๆไป เห็นคุณ Ne[S]zA เฉลยแล้วรู้สึกน่ากลัวแฮะ
แต่จริงๆมีเพียงคำตอบเดียวนะครับ ไอตรงบวกลบเหลือแค่บวกเพียงตัวเดียว (เดี๋ยวจะแสดงต่อจากนี้ว่า $x>1$)
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine
7. จงแก้สมการ $\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\sqrt{1+x^2}-1$ ในระบบจำนวนจริง
|
ขั้นแรกจัดรูปเป็น $x=\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}-1}$ ชัดเจนว่า $x>0$ ให้ $x=tan\theta$ สำหรับ $0<\theta<\frac{\pi}{2}$
สมการแรกเริ่มเปลี่ยนเป็น $\frac{1}{sin\theta}=\frac{1}{cos\theta}-1$ (อย่าลืมว่า $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ทำให้ $sec\theta >0$ จึงไม่ต้องห่วงเครื่องหมายหลังถอดรูท)
$$\frac{1}{cos\theta}-\frac{1}{sin\theta}=1$$
$$\frac{1}{cos^2\theta}+\frac{1}{sin^2\theta}-\frac{2}{sin \theta cos \theta}=1$$
$$\frac{4}{4sin^2 \theta cos^2 \theta}-\frac{4}{2sin \theta cos \theta}=1$$
$$\frac{4}{sin^22\theta}-\frac{4}{sin2\theta}+1=2$$
$$\left(\,\frac{2}{sin2\theta}-1\right)^2=2$$
$$sin2\theta=\frac{2}{1 \pm \sqrt{2}}$$
แต่ $0<2\theta<\pi$ ทำให้ $sin2\theta>0$,
$$sin2\theta=\frac{2}{1+\sqrt{2}}=2\sqrt{2}-2$$
$$\therefore cos2\theta=\pm \sqrt{8\sqrt{2}-11}$$
$$tan\theta=\sqrt{\frac{1-cos2\theta}{1+cos2\theta}}=\frac{1-cos2\theta}{sin2\theta}=\frac{1 \pm \sqrt{8\sqrt{2}-11}}{2\sqrt{2}-2}$$
จากสมการเดิมจัดรูปเป็น $\frac{1}{x}=1-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}<1$ ทำให้ $x>1$
$$\therefore x=\frac{1+\sqrt{8\sqrt{2}-11}}{2\sqrt{2}-2}$$
(มีเพียงคำตอบเดียวในระบบจำนวนจริง)