[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pakpoom

3.เศษเหลือจากการหาร $x^{401}+x^{302}+x^{101}+x^{98}+x^3+1$ ด้วย $x^3-1$ คืออะไร

ผมคิดได้$4x^2+2$
ให้ $x^3-1=A\rightarrow x^3=A+1$
มาพิจารณา
$x^{401}+x^{302}+x^{101}+x^{98}$
$=x^2\left\{\,x^{399}+x^{300}+x^{99}+x^{96}\right\} $
สังเกตว่าเลขยกกำลังในวงเล็บหารด้วย 3ลงตัว
$=x^2\left\{\,(x^3)^{133}+(x^3)^{100}+(x^3)^{33}+(x^3)^{32}\right\}$
$=x^2\left\{\,(A+1)^{133}+(A+1)^{100}+(A+1)^{33}+(A+1)^{32}\right\}$
จากการกระจายพจน์ในเรื่องของทวินาม$(A+1)^n$ มีพจน์ที่ไม่มี$A$ คือเศษจากการหารด้วย $A$ คือ $1$
$(A+1)^{133}+(A+1)^{100}+(A+1)^{33}+(A+1)^{32}$...มีเศษจากการหารด้วย$A$ คือ $4$

$x^{401}+x^{302}+x^{101}+x^{98}+x^3+1$
$=x^2\left\{\,(A+1)^{133}+(A+1)^{100}+(A+1)^{33}+(A+1)^{32}\right\}+A+1+1$
เมื่อหารด้วย $x^3-1$ เหลือเศษเท่ากับ $4x^2+2$