[M@gpie]

อันนี้เป็นความเห็นผมเองนะครับ คิดว่า ถ้าจะพิจารณากันจริงๆ แล้ว เราไม่สามารถนิยามค่าลิมิตทางซ้ายได้ จึงไม่สามารถบอกได้ว่าลิมิตหาค่าได้หรือไม่ได้โดยใช้ทฤษฏีบทลิมิตซ้าย และ ลิมิตขวา
แต่เพื่อเลี่ยงความยุ่งยากหนังสือแคลคูลัสพื้นฐานจึงใช้กันปกติ (คือบอกไปก่อนว่าหาค่าไม่ได้ หรือว่า ก็ไม่พูดถึงจุดนี้)

Definition : Let \( A \subseteq R \; \) and let \( f:A \rightarrow R \)
(i) if \( c \in R \; \) is a cluster point of the set \( A \cap (c,\infty) = \{x\in A : x>c\} \)
then we say that \( L \in R \; \) is a right-hand limit of f at c and we write
\( lim_{x \rightarrow c^{+}} f = L \)
(ii) if \( c \in R \; \) is a cluster point of the set \( A \cap (-\infty,c) = \{ x\in A : x<c\} \)
then we say that \( L \in R \; \) is a left-hand limit of f at c and we write
\( lim_{x \rightarrow c^{-}} f = L \)

พิจารณา \(f(x) = \sqrt{5+x} \; \) เป็นฟังก์ชันจาก \( [-5,\infty) \) ไปยังจำนวนจริงบวก
ลองพิจารณากรณี (ii) จะเห็นว่า x=-5 ไม่เป็น cluster point ของ \( [-5,\infty)\cap(-\infty ,-5) = \phi \) จึงไม่มีความหมายที่จะเขียน ลิมิตซ้าย

แต่สามารถพิสูจน์ได้ว่าลิมิตมีค่าเป็น 0 โดยใช้นิยามดังนี้ (เป้นแบบฝึกหัดให้พิสูจน์ครับ)
\(Theorem : \lim_{x \rightarrow c} \sqrt{x} = \sqrt{c} \text{ for all } c \geq 0 \)
กรณี c=0 จะได้ว่า สำหรับทุก \(\epsilon > 0 \; , x>0 , \; |x| < \delta = \epsilon^2 \rightarrow |\sqrt{x}| < \epsilon \)

กรณี cน0 จะได้ว่า ให้
\( |x-c| < \sqrt{c}\epsilon \rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{c}| < \sqrt{c}\epsilon \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} < \sqrt{c}\epsilon \frac{1}{\sqrt{c}} = \epsilon \)

Reference : Introduction to Real analysis ; Robert G. Bartle ,second edition

ทุกท่านเห็นว่าไงกันบ้างครับ แสดงความเห็นกันต่อได้