[กิตติ]

ข้อ12 ส่วน A....ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงสามจำนวนที่สอดคล้องกับ

$$\frac{a(b-c)}{b(c-a)}=\frac{b(c-a)}{c(b-a)} =k >0$$

สำหรับค่าคงที่ $k$
จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $k$

จริงๆโจทย์ถามว่า $k\geqslant m$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุด....โจทย์ถามค่า$m$ นั่นเอง
ผมจดโจทย์ไปทำตั้งหลายวัน กระจายพจน์ เตรียมใช้$AM-GM$ แต่ใช้ไม่ได้เพราะ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง
เพิ่งทำออกเมื่อกี้นี่เอง....ทำไมมันคิดง่ายๆก็ได้แต่มองข้ามไปข้ามมา

$k^2=\frac{a(b-c)}{b(c-a)}\times \frac{b(c-a)}{c(b-a)}$

$k^2=\frac{a(b-c)}{c(b-a)}$.....ตรงนี้เอา$b(c-a)$ ตัดกันได้เลยเพราะโจทย์กำหนดว่า $k>0$
ทำให้ได้ว่า $a,b,c\not= 0$ และ $a\not= b \not = c$

$k^2-1=\frac{a(b-c)}{c(b-a)}-1=\frac{b(a-c)}{c(b-a)} $

$k^2-1=-k$

$k^2+k-1=0$ และ $k>0$
จะได้ค่า $k=\frac{\sqrt{5}-1 }{2} $ และ $\frac{\sqrt{5}-1 }{2}<1$
จำนวนเต็มรวมเลขศูนย์ด้วย
จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $k$ คือเลข $0$
ไม่รู้ว่าคิดถูกหรือเปล่า....ท่านอื่นคิดได้เท่าไหร่กันบ้างครับ