ข้อ 12. ผมโกงนิดหน่อย ใช้ความรู้ ม.ปลายเรื่องลำดับเรขาคณิตครับ
อ้างอิง:
|
ถ้า $a_n = a_1r^{n-1}$ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม เท่ากับ $r\ne 1$ แล้ว ผลต่างของพจน์ที่ติดกัน จะเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ r ด้วย
|
$b_n = a_n - a_{n-1} = a_1r^{n-1} - a_1r^{n-2} = a_1r^{n-2}(r-1)$
แล้วแสดงว่า $\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{a_1r^{n-2}(r-1)}{a_1r^{n-3}(r-1)} = r$
นั่นคือ $b_n$ จะเป็นลำดับเรขาคณิตด้วย
จากโจทย์จะเห็นว่า c(b-a) , b(c-a), a(b-c) เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนรวมเป็น k
หรือ bc - ac, bc - ab, ab-ac เป็นลำดับเรขาคณิต
ดังนั้น ac-ab, 2ab-bc-ac จะเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนรวมเป็น k ด้วย
นั่นคือ
$k = \frac{2ab-bc-ac}{ac-ab} = \frac{ab+ab-bc-ac}{a(c-b)}$
$= \frac{a(b-c)+b(a-c)}{a(c-b)} = -1+\frac{b(a-c)}{a(b-c)} = -1 + \frac{b(c-a)}{a(b-c)} = -1+\frac{1}{k}$
ก็จะได้ $k+1 = \frac{1}{k} \Rightarrow k^2+k-1 = 0$