[จูกัดเหลียง]

$$2006^4 \equiv -1\pmod {13} ...(*)$$
เเละ $$\pi_{n=1}^{2554} 2006^{p_n^2-1}=2006^{(p_1^2+p_2^2+...+p_n^2)-n}$$
ให้ $$p_1=2,p_2=2k_1+1,p_3=2k_2+1,...p_n=2k_n+1$$
พิจารณา $$(p_1^2+p_2^2+...+p_n^2)-n = (2)^2+(2k_1+1)^2+...+(2k_n+1)^2$$
$$=4(k_1(k_1+1)+k_2(k_2+1)+...+k_n(k_n+1)-637)+3$$
เเละ $$2\mid {k_1(k_1+1)+k_2(k_2+1)+...+k_n(k_n+1)-636}$$
$$ \therefore k_1(k_1+1)+k_2(k_2+1)+...+k_n(k_n+1)-637 $$ เป็นเลขคี่
จาก $(*)$ $$2006^{4(k_1(k_1+1)+k_2(k_2+1)+...+k_n(k_n+1)-637)}\equiv -1 \pmod{13}$$
$$\rightarrow 2006^{4(k_1(k_1+1)+k_2(k_2+1)+...+k_n(k_n+1)-637)+3}\equiv -12\equiv 1 \pmod {13}$$