โจทย์ข้อนี้คงคุ้นตาสมาชิกหลายๆท่านครับ (เคยมีในกระทู้นี้คือหน้า 5-6 ครับ)
$$I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}dx $$
My solution
เปลี่ยน $x=\tan\theta$ จะได้ว่า
$$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan\theta)d\theta$$
$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\sin\theta+\cos\theta)-\ln\cos\theta d\theta$$
$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\cos(\theta-\frac{\pi}{4})-\ln\cos\theta+\ln\sqrt{2}d\theta...(1)$$
เปลี่ยนตัวแปร $\theta\rightarrow\frac{\pi}{4}-\theta$ จะได้ว่า
$$I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{0}\ln\cos\theta-\ln\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+\ln\sqrt{2}d(-\theta)$$
$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\cos\theta-\ln\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+\ln\sqrt{2}d\theta...(2)$$
นำสมการ $(1)+(2)$ จะได้ว่า
$$I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}dx=\frac{\pi\ln2}{8}$$
ปล. เพิ่งคิดออกจริงๆซักทีหลังจากลองทำเล่นๆตอนว่างๆมา 3 ปี
ปล2. เพิ่มเติมจากลิ้งค์
นี้ครับ(เคยลองถาม) โจทย์เพิ่มเติมดูที่ลายเซนต์ของ #4 ครับ
ปล3. มี solution ในหน้า 6 ที่ได้ว่า
$$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}+1)d\theta$$
แต่เนื่องจาก
$$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan\theta)d\theta$$
และได้ว่า
$$I+I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}+1)+\ln(1+\tan\theta)d\theta$$
ซึ่งคิดว่าเป็นวิธีเดียวกันครับ
