[M@gpie]

ข้อ 2. เนื่องจาก \[ \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( \frac{4n+5}{n(n+1)} \bigl) \bigl( \frac{1}{5} \bigl)^n \; \; = \; \; \sum_{n=1}^{\infty} \big( \frac{5}{n} - \frac{1}{n+1} \big) \bigl( \frac{1}{5} \bigl)^n \; \; = \; \; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \bigl( \frac{1}{5} \bigl) ^{n-1} \; - \; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1} \bigl( \frac{1}{5} \bigl) ^n \]
พิจารณาเทอม \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \bigl( \frac{1}{5} \bigl) ^{n-1} = 1 + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n} \bigl( \frac{1}{5} \bigl) ^{n-1} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+1} \bigl( \frac{1}{5} \bigl) ^{k}\]
ซึ่งจะได้ว่าเทอมข้างหลังตัดกันไป ดังนั้นตอบ \[ \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( \frac{4n+5}{n^2+n} \bigl) \bigl( \frac{1}{5} \bigl)^n \; \; = \; \; 1 \]