[gools]

ข้อ 5 ครับ

ในกรณีที่ $n=1$ จะได้ว่า
\[a_1 \leq (1-1)+max(1,a_1)\]
ซึ่งเป็นจริงเสมอ

สมมติให้
\[\sum^m_{k=1} a_k \leq (m-1)+\prod^m_{k=1} max(1,a_k)\]
โดยที่ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก

กรณีที่ 1 $a_{m+1} \leq 1$
จะได้ว่า \[\begin{array}{rcl}\sum^{m+1}_{k=1} a_k = \sum^m_{k=1} a_k +a_{m+1} &\leq& (m-1)+a_{m+1}+\prod^m_{k=1} max(1,a_k) \\
&\leq& m+\prod^m_{k=1} max(1,a_k) \\
&=& m+\prod^{m+1}_{k=1} max(1,a_k) \end{array}\]

กรณีที่ 2 $a_{m+1} > 1$
เห็นได้ชัดว่า $\prod^{m}_{k=1} > 1$
จะได้ว่า $a_{m+1}-1 < \prod^m_{k=1} max(1,a_k)[a_{m+1}-1]$
ดังนั้น
\[\begin{array}{rcl}\sum^{m+1}_{k=1} a_k = \sum^m_{k=1} a_k +a_{m+1} &\leq& (m-1)+a_{m+1}+\prod^m_{k=1} max(1,a_k) \\
&<& m+\prod^m_{k=1} max(1,a_k)[a_{m+1}-1]+\prod^m_{k=1} max(1,a_k) \\
&=&m+\prod^{m+1}_{k=1} max(1,a_k) \end{array}\]

ดังนั้นโดยอุปนัยทางคณิตศาสตร์จะได้ว่า
\[\sum^n_{k=1} a_k \leq (n-1)+\prod^n_{k=1} max(1,a_k)\]
เป็นจริงทุกจำนวนเต็มบวก $n$