ข้อ 7 ครับ
สมมติให้ $|b_i|\leq 2$
จาก $ {n \choose 1} + {n \choose 3}+\cdots + {n \choose n}= {n \choose 0} + {n \choose 2}+\cdots + {n \choose n-1}$
จะได้ว่า $ {n \choose 1} + {n \choose 3}+\cdots + {n \choose n}=\frac{\sum^n_{k=0} {n \choose k}}{2}=2^{n-1}$
ดังนั้น $ b_1{n \choose 1} + b_2{n \choose 3}+\cdots + b_{(n+1)/2}{n \choose n}=S \in [-2^n,2^n]$
ถ้า $S$ มีค่าเท่ากับศูนย์จะทำให้ปัญหาถูกแก้ทันที
ดังนั้นสมมติให้ $S \not= 0$ ดังนั้น $S$ มีค่าได้ทั้งหมด $2^{n+1}$ ค่า
เนื่องจาก $b_i$ ใดๆมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 5 ค่าคือ -2,-1,0,1,2 และให้ $b_i$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน พิจารณาค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ $S$ คือ $5^{\frac{n+1}{2}}-1$ ค่า สมมติให้เป็น $S_1,S_2,\ldots,S_{5^{\frac{n+1}{2}}-1}$
เนื่องจาก
\[\begin{array}{rcl} 5^{\frac{n+1}{2}}-1 &=& (5-1)(5^{\frac{n+1}{2}-1}+\ldots+1) > 2^2(4^{\frac{n+1}{2}-1}+\ldots+1) \\
&=& 2^2(2^{n-1}+\ldots+1) > 2^{n+1} \end{array}\]
ดังนั้นตามหลักรังนกพิราบจะมีจำนวนนับ $i$ และ $j$ ที่ $1\leq i < j \leq 5^{\frac{n+1}{2}}-1$ และ $S_i=S_j$
ดังนั้น $S_i-S_j=c_1{n \choose 1} + c_2{n \choose 3}+\cdots + c_{(n+1)/2}{n \choose n}=0$ โดยที่ $|c_i| \leq 4$
|