ข้อ 15 มองง่ายๆแบบนี้ก็ได้ครับ $\sin(x)=-\sin(2\pi-x)$ ดังนั้น $\sin^3x+\sin^3(2\pi-x)=0$ เสมอทุกค่า $x$
ข้อ 3 ถามว่า $\int_{0}^{\sqrt{2}}\,\frac{x^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}+(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}dx$ มีค่าเท่ากับเท่าไร
ข้อนี้ผมได้ Idea มาจากพี่ nooonuii ครับ
สมมติ
$\int_{0}^{\sqrt{2}}\,\frac{x^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}+(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}dx=I$
ให้ $u=\sqrt{2}-x$ ต้องพิสูจน์ต่อไปว่า $\int_{0}^{\sqrt{2}}\,\frac{(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}+(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}dx=I$ ด้วย
เพื่อให้ $2I=\int_{0}^{\sqrt{2}}\,\frac{x^{\sqrt{2}}+(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}+(\sqrt{2}-x)^{\sqrt{2}}}dx=\int_{0}^{\sqrt{2}}\,1dx=\sqrt{2}$ แล้วก็จะได้ $I=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ก็จะจบ
(เวลาพิสูจน์ก็ทำต่อจาก $u=\sqrt{2}-x$ แล้วจะได้ $\frac{du}{dx}=-1$ ต้องลองไปทำต่อดูเองครับ)
ข้อ 6 โจทย์มันอยากได้ว่ามี $n$ กี่ตัวที่ทำให้ $(n^2+5,n+4)\not = 1$
$n$ ที่สอดคล้องคือ $2,5,8,11,14,17,20,...$ หรือ $3,10,17,24,31,38,...$ มันคือพวกที่ 3 หารแล้วเหลือเศษ 2 และพวก 7 หารแล้วเหลือเศษ 3 สังเกตดูว่ามันจะมีซ้ำกันอยู่คือ 17,34,...,80 คือพวกที่ 21 หารแล้วเหลือเศษ 17 ก็ลองไปนับเอาครับ
ข้อ 5 มันคือการดูตารางหมากรุกแบบ $n\times n$ โดยมีสีดำ $n$ ช่องและสีขาว $n^2-n$ ช่อง โดยที่แถวที่ 1,2,3,...,n มีสีดำเพียง 1 ช่องเท่านั้น ที่เหลือเป็นสีขาว เอาจำนวนวิธีในการทำตารางหมากรุกดังกล่าวหารด้วยจำนวนวิธีในการทำตารางหมากรุกที่ประกอบไปด้วยสีดำ $n$ ช่องและสีขาว $n^2-n$ ช่อง (มันคือกฎการคูณธรรมดาๆ)
ข้อ 8 มันคืออนุกรมผู้ช่วยประธาน (คนที่คอยชงกาแฟอ่ะครับ) คูณกระจายแล้วจัดเอาครับ
ข้อ 9 อาจจะทำยาวหน่อยต้องพิสูจน์ว่าเงื่อนไขที่ทำให้ระยะห่างของจุดศก.วงกลมวงแรกและวงกลมวงสุดท้ายจะมีค่ามากที่สุดก็ต่อเมื่อ... (ถ้าทำไม่ออกลองวาดดูก่อนซัก 3 4 วงก่อนก็ได้ว่าจุดศก.มันต้องอยู่ตำแหน่งไหนระยะห่างจึงจะมากที่สุด)
ข้อ 10 จาก $e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$
อยากได้สัมประสิทธิ์หน้าพจน์ $x^2$ ของ $e^{x(2+1)}+e^{x(2^2+1)}+...e^{x(2^8+1)}$ ก็เอาไปแทนในสูตรอนุกรมข้างบนนั่นแหละครับ แล้วก็คำนวณออกมาโดยใช้คนชงกาแฟคนเมื่อตะกี้นี้
ข้อ 11 ดูแต่ละพจน์ก่อนครับ โดยใช้ทวินามกระจายออกมา สังเกตดูว่าแต่ละพจน์ของ $(1+x)^n$ โดยที่เราต้องการ $x^{2010}$ มันจะมีตัว $x,x^2,...,x^{2011}$ คูณอยู่ข้างหน้าเราต้องไปสนใจพจน์ไหนในการกระจาย เสร็จแล้วก็เอาจัดการคำนวณต่อ
ข้อ 4 มันคือสมาคมคณิตม.ปลาย 2553 ลองค้นในกระทู้สมาคมดูครับ
ส่วนข้อที่เหลือเชิญท่านอื่นครับ พลังหมดขอไปนอนก่อนละ
