อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133
ข้อ1ใหญ่ทำอย่างไรหรอครับ
|
ไม่แน่ใจนะว่าโจทย์เป็นอย่างนี้หรือเปล่า มองไม่ค่อยชัด, สำหรับ $a,b,c>0$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \ge \frac{a+b+c}{3}$$
ใช้ lemma นิดหน่อยคือ $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$ พิสูจน์โดยจัดรูปและ AM-GM
พิจารณา $A=\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$ และ $B=\sum \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}$
ได้ว่า $A-B=a-b+b-c+c-a=0$ ดังนั้น $A=B$
และจาก $2ab \le a^2+b^2$ ฉะนั้น $A \ge \sum \frac{a^3}{(3/2)(a^2+b^2)}=\frac{2}{3} \cdot \sum \frac{a^3}{a^2+b^2}$
ทำนองเดียวกัน, $B \ge \frac{2}{3} \cdot \sum \frac{b^3}{a^2+b^2}$
แต่โจทย์คือ $A=(1/2)(A+B) \ge \frac{1}{3} \cdot \sum \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}$
พิสูจน์ได้ไม่ยากจาก lemma ว่า $a^3+b^3 \ge \frac{1}{2} (a^2+b^2)(a+b)$
จึงได้ว่า $A \ge \frac{1}{3} \cdot (1/2)(a+b+b+c+c+a) =\frac{a+b+c}{3}$