ในที่สุดก็หลุดซะทีอสมการข้อ 3 ใช้ PQR Method เข้าไปตีครับ
Lemma
1.$p^2-3q \geq 0$
2.$p^4-5p^2q+4q^2+6pr \geq 0$
อสมการแรกสมมูลกับ $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geq 0$ ซึ่ง Well-known
อสมการที่สองสมมูลกับอสมการ Schur ดีกรี 2 $x^2(x-y)(y-z)+y^2(y-x)(y-z)+z^2(z-x)(z-y) \geq 0$
ให้ $p=x+y+z$ และ $q=xy+yz+zx$ และ $r=xyz$
เอามายกกำลังสองก่อน
$(p^2-q)^2\geq \sum 4x^2y^2+\sum 4xy\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)}$
มาถึงตรงนี้ถ้า Bound พลาดนิดเดียวมันจะตกขอบ
$4xy\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)}\leq 4xy(\frac{2z^2+x^2+y^2}{2})=4xyz^2+2x^3y+2xy^3$
เพราะฉะนั้นเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$\sum 4x^2y^2+4xyz(x+y+z)+2(\sum x^3y+\sum xy^3) \leq (p^2-q)^2$
ต่อไปผมจะเปลี่ยนตัวแปรทุกตัวให้อยู่ในรูป $p,q,r$ ให้หมด
สร้างเอกลักษณ์จากการกระจาย $(x+y+z)^4$ ออกมาจะได้ว่า
$2(\sum x^3y+\sum xy^3)=2p^2q-2pr-4q^2$
ดังนั้นอสมการสมมูลกับ
$4(q^2-2pr)+4pr+2p^2q-2pr-4q^2\leq p^4-2p^2q+q^2$
ซึ่งสมมูลกับ $p^4+q^2+6pr-4p^2q \geq 0$
เขียนอสมการใหม่เป็น
$(p^4-5p^2q+4q^2+6pr)+q(p^2-3q) \geq 0$
แต่ว่า $p^4-5p^2q+4q^2+6pr \geq 0$ และ $p^2-3q \geq 0$ จริงจาก
Lemma
จบการพิสูจน์
(จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้ใช้อะไรหลายๆอย่างมาประยุกต์รวมๆกัน ซึ่งผมมีความเห็นว่ายากเกินกว่าที่จะเป็นโจทย์สอวน.ค่าย 1 ทางที่ดีนะครับสำหรับเส้นทางสายโอลิมปิกนี้ เราควรจะมีอาวุธติดตัวให้เยอะที่สุดและใช้ให้ชำนาญเป็นการดี เพราะโจทย์บางข้อต้องเขียนพิสูจน์ส่งอาจารย์มันต้องทำในเวลาที่จำกัด และมันเป็นการยากที่เราจะเขียนอะไรที่มันสร้างสรรค์มากๆออกมา อธิบายมากไม่ได้ครับ เพราะผมเองก็ไม่ได้แตะของพวกนี้มานานมากๆแล้ว ทำโจทย์เยอะๆเป็นคำแนะนำสุดท้ายครับ
)