อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name
$5. a,b,c >0 such that$
$$a^2+b^2+c^2=a+b+c$$
prove that
$$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \le ab+bc+ca$$
|
จาก$$a^2+b^2+c^2=a+b+c$$ยกกำลังสองได้$$a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน ์ว่า$$a^2+b^2+c^2 \le a^4+b^4+c^4$$ซึ่งสมมูลกับ$$(a^2+b^2+c^2)^3 \le (a^4+b^4+c^4)(a+b+c)^2$$หรือก็คือ$$a^2+b^2+c^2 \le \sqrt[3]{(a^4+b^4+c^4)(a+b+c)(a+b+c)}$$ซึ่งจริงโดย Holder