[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ตัวอย่างโจทย์ซักข้อที่ดูน่าจะยาก แต่ถ้าใช้ Holder เป็นก็จะมองออกว่าทำอย่างไร

กำหนดจำนวนจริง $a,b,c>0$ พิสูจน์ $$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3} \le \sqrt[3]{a \cdot \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a+b+c}{3}}$$

$$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}=\frac{a^{\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot (\sqrt{ab})^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot c^{\frac{1}{3}}}{3} $$
$$\leq \frac{1}{3}\sqrt[3]{((a^{\frac{1}{3}})^3+(a^{\frac{1}{3}})^3+(a^{\frac{1}{3}})^3)(a+b+\sqrt{ab})(a+b+c)}$$
$$\leq \frac{1}{3}\sqrt[3]{((a^{\frac{1}{3}})^3+(a^{\frac{1}{3}})^3+(a^{\frac{1}{3}})^3)(\frac{3}{2}(a+b))(a+b+c)}$$ $$=\sqrt[3]{a \cdot \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a+b+c}{3}}$$