อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name
2. $a,b,c \ge 0$ ,$a^3+b^3+c^3=3$
$$a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 \le 3$$
|
$\dfrac{a^3+b^3+1}{3} \ge ab$
$\dfrac{4a^3b^3-a^3b^3c^3}{3} \ge a^4b^4$
นั่นคือเราต้องพิสูจน์ว่า
$$4(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)-3a^3b^3c^3 \le 9$$
จากนั้นคูณ $a^3+b^3+c^3$ ตลอด
$$4(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)(a^3+b^3+c^3)-9a^3b^3c^3 \le (a^3+b^3+c^3)^3$$
โดยอสมการ Schur จะได้ว่า
$$x^3+y^3+z^3+6xyz \ge (x+y+z)(xy+yz+zx)$$
$$x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)+6xyz \ge 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$$
$$(x+y+z)^3 \ge 4(x+y+z)(xy+yz+zx) \ge 4(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xyz$$
แทน $x,y,z$ เป็น $a^3,b^3,c^3$ จะได้อสมการที่เราต้องการ