[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

3.จงแสดงว่า ถ้า $\frac{a^2+b^2+c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็มแล้ว $\frac{a^2}{4} ,\frac{b^2}{4} ,\frac{c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็มด้วย

ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ได้ไหม
ให้ $a=4m+r_a$
$b=4n+r_b$
$c=4p+r_c$
เมื่อ $m,n,p$ เป็นจำนวนนับ และ $r_a,r_b,r_c$ เป็นเศษ โดยที่ $0 \leqslant r_a,r_b,r_c \leqslant 3$

ดังนั้น $a^2=16m^2+8mr_a+r^2_a=4(4m^2+2mr_a)+r^2_a$
$b^2=16n^2+8nr_b+r^2_b=4(4n^2+2nr_b)+r^2_b$
$c^2=16p^2+8pr_c+r^2_c=4(4p^2+2pr_c)+r^2_c$

โจทย์กำหนดให้ $\frac{a^2+b^2+c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็ม คือ $a^2+b^2+c^2$ หารด้วย 4 ลงตัว ซึ่งจะเป็นไปได้เมื่อ $r^2_a+r^2_b+r^2_c $ หารด้วย 4ลงตัว จากที่กำหนดให้ $0 \leqslant r_a,r_b,r_c \leqslant 3$ จะได้คู่ลำดับที่ตรงกับเงื่อนไขคือ $(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(2,2,2)$ ซึ่งคู่ลำดับที่เขียนสลับตำแหน่งกันไปมาได้ เมื่อนำค่าไปแทนใน $a^2,b^2,c^2$ ในแต่ละกรณีแล้วจะได้ว่า $\frac{a^2}{4} ,\frac{b^2}{4} ,\frac{c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็ม