อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon
คงอยากให้ใช้ A.M.-G.M. กับส่วนล่างใช่ไหมครับ 
$( x,y,z >0 ,\dfrac{3x}{x+1}+\dfrac{4y}{y+1}+\dfrac{5z}{z+1} =1)$
$$x^3y^4z^5 \le \dfrac{1}{11^{12}}$$ |
$\dfrac{3x+3-3}{x+1}+\dfrac{4y+4-4}{y+1}+\dfrac{5z+5-5}{z+1} =1$
$\dfrac{-3}{x+1}+\dfrac{-4}{y+1}+\dfrac{-5}{z+1} =-11$
$\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{4}{y+1}+\dfrac{5}{z+1} =11$
$\dfrac{12}{\frac{3}{x+1}+\frac{4}{y+1}+\frac{5}{z+1}} =\dfrac{12}{11} $ ---(1)
แต่ $\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{4}{y+1}+\dfrac{5}{z+1} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{x}}+\dfrac{4}{2\sqrt{y}}+\dfrac{5}{2\sqrt{z}}$
(1) จัดรูป;
$\dfrac{12}{\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+...+\frac{1}{\sqrt{z}}} \geqslant \dfrac{6}{11} $
GM-HM;
$\sqrt[24]{x^3y^4z^5} \geqslant \dfrac{6}{11} $
$x^3y^4z^5\geqslant (\frac{6}{11} )^{24} = (\frac{36}{121} )^{12} > \frac{1}{11^{12}} $
$\therefore x^3y^4z^5 \le \dfrac{1}{11^{12}}$
เป็นเท็จ