[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ข้อ 1. นิยามให้ $S_{n}=a^n+b^n+c^n$ โดยที่ $a,b,c > 0$ จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{(S_{5}+S_{4}+S_{2})(S_{4}+S_{2}+S_{1})}{(ab+bc+ca)^3}\geq 3$

Solution

เยี่ยมครับ คาระวะ 10 จอกเลย พี่ Keehlzver คิดได้ไงอ่ะครับงดงามมาก

$9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) \geq \left(\,ab+bc+ca\right)^3$

โดย Cauchy-Schwarz

$\dfrac{(S_5+S_4+S_2)(S_4+S_2+S_1)}{(ab+bc+ca)^3} \geq \dfrac{(S_5+S_4+S_2)(S_4+S_2+S_1)}{9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq \dfrac{\left(\,3(a^3+b^3+c^3)\right) ^2}{9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$

$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \geq \dfrac{27(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}{9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \geq 3$