เห็นโจทย์ข้อนี้ คิดว่าสามารถตั้งให้ดูแปลกกว่านี้เป็น
"กำหนดให้ -1 < b/c < -19/20 จงหาค่า a ที่มากที่สุดที่ทำให้ x
3 + a x
2 + b x + c = 0 มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด"
หากมี k,m,n ที่ทำให้อสมการเป็นจริง
จะพบว่า
" k,m,n < 4 ทำให้อสมการไม่เป็นจริง
1
ฃ 1/k + 1/m + 1/n
ฃ 3 ขัดแย้งกับเงื่อนไข
ดังนั้น
$ k,m,n
ณ 4
นอกจากนี้จะพบว่า
" k,m,n
ณ 4 ทำให้อสมการไม่เป็นจริงเช่นกัน
0 < 1/k + 1/m + 1/n
ฃ 3/4 < 19/20 ขัดแย้งกับเงื่อนไข
ดังนั้น
$ k,m,n < 4
เราสามารถแบ่งได้เป็น 5 กรณี และกำหนดค่าให้ k,m,n ได้ดังนี้
k = 2 และ m,n ณ 4
จะได้ 9/20 < 1/m + 1/n < 1/2
พบว่า
" m,n
ณ 5 ทำให้อสมการไม่เป็นจริง(เนื่องจาก 1/m + 1/n
ฃ 2/5 < 9/20)
และเมื่อกำหนดให้ m = 4 จะได้ 4 < n < 5 ไม่สามารถหา n ที่ทำให้อสมการเป็นจริงได้
k = 3 และ m,n ณ 4
จะได้ 37/60 < 1/m + 1/n < 2/3
แต่เนื่องจาก 1/m + 1/n
ฃ 1/2 < 37/60 ทำให้อสมการไม่เป็นจริง
k = 2 , m = 2 และ n ณ 4
จะพบว่า 1/k + 1/m + 1/n > 1 ขัดแย้งกับเงื่อนไข
k = 2 , m = 3 และ n ณ 4
จะได้ 7/60 < 1/n < 1/6 หรือ 6 < n < 9
จึงได้ค่า k + m + n น้อยที่สุด = 2 + 3 + 7 = 12
k = 3 , m = 3 และ n ณ 4
จะได้ 17/60 < 1/n < 1/3 หรือ 3 < n < 4 เป็นไปไม่ได้
ดังนั้น ค่า k + m + n น้อยที่สุดคือ 12