อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa
6. ให้$a,b,c>0$และ$n\in \mathbb{N} $จงพิสูจน์ว่า$$\sum_{cyc}(\frac{a}{a+b})^n\geqslant \frac{3}{2^n} $$ (ข้อสุดท้ายไม่รู้ว่าจริงรึป่าวนะครับแต่ทำไปทำมามันออกช่วยเช็คให้ด้วยครับ)
|
จริงเฉพาะ $n\geq 2$ ครับ
ถ้า $n=1$ ตัวอย่างค้านคือ $a=0.01,b=0.1,c=1$
และอสมการนี้
$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\leq\dfrac{3}{2}$
ก็ไม่จริงด้วยครับ
สำหรับวิธีพิสูจน์กรณีทั่วไปใช้ power mean จะทำให้อสมการลดรูปลงมาแค่พิสูจน์ว่า
$\left(\dfrac{a}{a+b}\right)^2+\left(\dfrac{b}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{c}{c+a}\right)^2\geq\dfrac{3}{4}$
ซึ่งพิสูจน์โดยใช้เฉลยของข้อ $5$ ครับ
(เฉลยข้อ 5 หาได้จากหลายแหล่งเพราะเป็นโจทย์ VMO)