อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper
7. ถ้า $x=b+c-a\ \ ,y=c+a-b\ \ ,z=a+b-c$ จงแสดงว่า$$x^3+y^3+z^3-3xyz=3(a^3+b^3+c^3-3abc)$$
|
ข้อนี้ผมใช้เอกลักษณ์ที่พิสูจน์ไปแล้วใน โจทย์ปัญหาข้อ 1.2 ครับ (เห็นว่าเหมือนกันพอดี) คือ
$$(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(c+a-b)^3-(b+c-a)^3=24abc$$ เราก็จะได้ว่า
$(a+b-c)^3+(c+a-b)^3+(b+c-a)^3=(a+b+c)^3-24abc$
จากโจทย์ ทำให้เราได้ว่า
$x^3+y^3+z^3=(a+b+c)^3-24abc$-----------------(1)
ทีนี้ข้างซ้ายจะเหลือตัวที่ให้คิดคือ $3xyz$ ผมกระจายเอาตรงๆเลยครับ
$$xyz=(b+c-a)[a-(b-c)][a+(b-c)]=[(b+c)-a][a^2-(b-c)^2]$$
$$=(b+c)a^2-(b+c)(b-c)^2-a^3+a(b-c)^2$$
$$=(b+c)a^2+a(b-c)^2+(-b^3+bc(b+c)-c^3)-a^3$$
$$=-(a^3+b^3+c^3)+[(b+c)a^2+a(b+c)^2+bc(b+c)-4abc]$$
$$=-(a^3+b^3+c^3)+(b+c)(a+c)(a+b)-4abc$$
ดังนั้น เราจะได้
$3xyz=-3(a^3+b^3+c^3)+3(b+c)(a+c)(a+b)-12abc$
และเนื่องจาก $3(b+c)(a+c)(a+b)=(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)$
$3xyz=(a+b+c)^3-4(a^3+b^3+c^3)-12abc$------------(2)
สุดท้ายครับ จาก (1) และ (2) เราก็จะได้ว่า
$$x^3+y^3+z^3-3xyz=4(a^3+b^3+c^3)-12abc=4(a^3+b^3+c^3-3abc)$$
คำตอบไม่ตรงกับโจทย์อ่ะครับ ผมทำผิดตรงไหนรึเปล่าครับนี่ หรือว่าโจทย์ผิด
