สังเกตว่า
$$\cos\frac{2\pi}{3}=4\cos^3\frac{2\pi}{9}-3\cos\frac{2\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
$$\cos\frac{4\pi}{3}=4\cos^3\frac{4\pi}{9}-3\cos\frac{4\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
$$\cos\frac{8\pi}{3}=4\cos^3\frac{8\pi}{9}-3\cos\frac{8\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
นั่นคือ $\cos\frac{2\pi}{9},\cos\frac{4\pi}{9},\cos\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ (สังเกตว่ามีสามรากพอดี)
$$4x^3-3x+\frac{1}{2}=0$$
จากสมการดังกล่าวจะได้ว่า
$$(4x^3-3x)^2=\frac{1}{4}$$
$$16x^6-24x^4+9x^2=\frac{1}{4}$$
จะได้ว่า $\cos^2\frac{2\pi}{9},\cos^2\frac{4\pi}{9},\cos^2\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ
$$16y^3-24y^2+9y=\frac{1}{4}$$
และได้ว่า $1-\cos^2\frac{2\pi}{9},1-\cos^2\frac{4\pi}{9},1-\cos^2\frac{8\pi}{9}$
หรือ $\sin^2\frac{2\pi}{9},\sin^2\frac{4\pi}{9},\sin^2\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ
$$16(1-y)^3-24(1-y)^2+9(1-y)=\frac{1}{4}$$
$$64y^3-96y^2+36y-3=0$$
และจะได้ว่า $\frac{1}{\sin^2\frac{2\pi}{9}},\frac{1}{\sin^2\frac{4\pi}{9}},\frac{1}{\sin^2\frac{8\pi}{9}}$ เป็นรากของสมการ
$$64(\frac{1}{y})^3-96(\frac{1}{y})^2+\frac{36}{y}-3=0$$
$$3y^3-36y^2+96y-64=0$$
โดยความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์จะได้ว่า
$$\frac{1}{\sin^2\frac{2\pi}{9}}+\frac{1}{\sin^2\frac{4\pi}{9}}+\frac{1}{\sin^2\frac{8\pi}{9}}=12$$