ข้อ 22 ครับ โจทย์สวยมากๆ (ข้อนี้วัดความรู้พื้นฐานของตรีโกณครับ)
กำหนดลำดับ $(a_n)$ โดยที่ $a_1=1$ และสำหรับจำนวนเต็ม $n \ge 1$
$a_n$ และ $a_{n+1}$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้สมการ
$$2 \arcsin (x+a_{n+1}) = 2 \pi - \arccos (x+a_n)$$
มีคำตอบเป็นจำนวนจริง $x$ แล้ว จงหาค่าของ
$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i a_{i+1}}$$
พิจารณาขอบเขตของ arcsine และ arccosine นำมาใช้กับโจทย์,
$$-\pi \le 2 \arcsin \alpha \le \pi$$ $$\pi \le 2 \pi - \arccos \beta \le 2 \pi$$
แต่ LHS=RHS ดังนั้น สมการจะเกิดได้เพียงกรณีเดียวคือ LHS=RHS=$\pi$
จึงได้ระบบสมการที่เกิดพร้อมกัน (ค่า $x$ เดียวกัน) คือ
$$\arccos (x+a_n) = \pi$$ $$\arcsin (x+a_{n+1})=\frac{\pi}{2}$$
หรือก็คือ (take sine, cosine)
$$x+a_n=-1$$ $$x+a_{n+1}=1$$
$$\therefore a_{n+1}-a_n=2$$ $$a_{n+1}=a_n+2$$
ได้รูปทั่วไปคือ $a_n=2n-1$
$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i a_{i+1}}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(2i-1)(2i+1)}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i a_{i+1}}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2i-1} - \frac{1}{2i+1}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i a_{i+1}}=\frac{1}{2}$$
จบ เย่
