[PP_nine]

ขอเปิดประเด็นอสมการหน่อยละกัน (สำหรับคนที่ไม่ได้เข้าค่าย สอวน)

ข้อ 19 จงหาเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่ทำให้อสมการ
$$2\log _x \Big(\frac{a+b}{2}\Big) \le \log _x a + \log _x b$$
เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริงบวก $a,b$

Solution

อสมการสมมูลกับ $$\frac{1}{\log x} \log \Big(\frac{a+b}{2}\Big) \le \frac{1}{\log x}\log (\sqrt{ab})$$
แต่สำหรับจำนวนจริงบวก $a,b$ เรามี $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ สมมูลกับ $a+b \ge 2\sqrt{ab}$

ดังนั้นค่า $x$ ที่ทำให้อสมการเป็นจริงก็คือค่า $x$ ที่ทำให้ $\log x$ ติดลบ เพื่อที่อสมการจะได้กลับข้าง

$\therefore x \in (0,1)$