ข้อแรกมีวิธีคิดอย่างน้อย 2 วิธีครับ.
วิธีแรกก็คือ แข็งใจนั่งเขียน สามเหลี่ยมปาสกาล ก็จะเห็นชัดเจนว่า เมื่อ n = ... กับ n = ... (อันนี้ที่โจทย์ต้องการ) จะเป็น 2 จำนวนแรกที่น้อยที่สุดที่ทำให้เป็นลำดับเลขคณิต เผอิญผมเคยเขียนสามเหลี่ยมปาสกาลเก็บไว้จนถึง n = 29 อยู่แล้ว นั่งมองก็เห็นคำตอบเลย
จากที่เท่าที่ดูำคำตอบน่าจะเฉลยผิดนะครับ.
ส่วนอีกวิธีหนึ่งก็สมมติให้ ${n \choose r}, {n \choose r + 1} , {n \choose r + 2}$ เมื่อ $n \ge r + 2, r \ge 0$ เป็น 3 พจน์ที่เป็นลำดับเลขคณิต จากนั้นใช้เงื่อนไข ของลำดับเลขคณิตคือ ถ้า a, b, c เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว b - a = c - b หรือ 2b = a + c จากนั้นจัดรูป จะได้สมการกำลังสองของ n กับ r จากนั้นค่อยๆแทน r = 0, 1, ... ลงไปแล้วแก้สมการกำลังสองของ n ถ้าได้จำนวนเต็มตามที่สอดคล้องเงื่อนไข ก็จะได้ ตามที่ต้องการ
