วิธีถึกครับผม 555
$$\frac{1}{cos^{2}10^{\circ}}+\frac{1}{sin^{2}20^{\circ}}+\frac{1}{sin^{2}40^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1+cos20^{\circ}}{2}}+\frac{ 1}{1-cos^{2}20^{\circ}}+\frac{1}{(2sin20^{\circ}cos20^{\circ})^{2}}$$
$$=\frac{2}{1+cos20^{\circ}}+\frac{1}{1-cos^{2}20^{\circ}}+\frac{1}{4(1-cos^{2}20^{\circ})cos^{2}20^{\circ}}$$
ให้ $a=cos20^\circ$ จะได้ว่า
$$=\frac{2}{1+a}+\frac{1}{1-a^{2}}+\frac{1}{4(1-a^{2})a^{2}}$$
$$=\frac{2(4a^{2})(1-a)+(4a^2)+1}{4(1-a^{2})a^{2}}$$
$$=\frac{-8a^3+12a^2+1}{4(1-a^{2})a^{2}}$$
$$=\frac{-8cos^{3}20^{\circ}+12cos^{2}20^{\circ}+1}{sin^{2}40^{\circ}}$$
เพราะ $cos60^{\circ}=4cos^{3}20^{\circ}-3cos20^{\circ}$
จึงได้ว่า $-8cos^{3}20^{\circ}=-2cos60^{\circ}-6cos20^{\circ}=-1-6cos20^{\circ}$
นั่นคือ $$\frac{-8cos^{3}20^{\circ}+12cos^{2}20^{\circ}+1}{sin^{2}40^{\circ}}=\frac{(-1-6cos20^{\circ})+12cos^{2}20^{\circ}+1}{(sin40^{\circ})(2sin20^{\circ}cos20^{\circ})}$$
$$=\frac{6(2cos20^{\circ}-1)}{2sin40^{\circ}sin20^{\circ}}$$
$$=\frac{6(2cos20^{\circ}-1)}{cos20^{\circ}-cos60^{\circ}}$$
$$=\frac{6(2cos20^{\circ}-1)}{cos20^{\circ}-\frac{1}{2}}$$
$$=12$$
__________________
"การใช้เวลา
ครึ่งชั่วโมงทำสิ่งที่เล็กน้อยที่สุดในโลก
ยังดีกว่าการให้้เวล
าครึ่งชั่วโมงผ่านไปโดยไม่ได้ทำอะไร
เพียงเพราะมีความคิดว่า เวลาเพียงเท่านี้เล็กน้อยเกินกว่าจะทำสิ่งใดได้"
...Johann Wolfgang von Goethe