อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa
1.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้
$$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x) $$
|
ให้ $y=\dfrac{x^2-f(x)}{2}$ จะได้
$f(x)(x^2-f(x))=0$
ถึงตรงนี้เราสรุปได้แค่ว่า สำหรับแต่ละ $x$ เราจะได้ $f(x)=0$
หรือ $f(x)=x^2$
จบรึยัง ? ยังครับ เราจะแน่ใจได้อย่างไรว่าจะไม่เกิดกรณีที่ $f(1)=0$ แต่ $f(2)=2^2$ (เป็นไปได้)
ซึ่งส่วนที่โหดที่สุดก็คือส่วนที่เราต้องแยกออกมาให้ได้ว่ามีสองคำตอบเท่านั้นครับ
วิธีพิสูจน์ต่อไปนี้ผมให้เครดิต pco เทพ FE ใน AOPS ครับ
จากเงื่อนไขที่ได้มาเราสรุปได้แน่นอนว่า $f(0)=0$
Case 1 มี $a\neq 0$ ซึ่ง $f(a)=0$
สมมติว่ามี $b\neq a,0$ ซึ่ง $f(b)\neq 0$
นั่นคือ $f(b)=b^2$
แทนค่า $x=a,y=b$ ในสมการจะได้
$f(b)=f(a^2-b)$
$b^2=(a^2-b)^2$ ($f(a^2-b)\neq 0$ เพราะ $b\neq 0$)
$b=\dfrac{a^2}{2}$
ให้ $c\in\mathbb{R}-\{0,a,-a,b\}$
ถ้า $f(c)=0$ แทนค่า $x=c,y=b$ จะได้
$f(b)=f(c^2-b)$
$b^2=(c^2-b)^2$
$c^2=2b=a^2$ ซึ่งขัดแย้ง
ถ้า $f(c)=c^2$ แทนค่า $x=a,y=c$ จะได้
$f(c)=f(a^2-c)$
$c^2=(a^2-c)^2$
$c=\dfrac{a^2}{2}=b$ ซึ่งขัดแย้ง
ดังนั้น $f(x)=0$ ทุก $x\in\mathbb{R}$
Case 2 $f(x)\neq 0$ ทุก $x\neq 0$
จะได้ทันทีว่า $f(x)=x^2$ ทุก $x\in\mathbb{R}$
สรุป คำตอบของสมการคือ
1. $f(x)=0$ ทุก $x\in\mathbb{R}$
2. $f(x)=x^2$ ทุก $x\in\mathbb{R}$