ตอนนี้เรามี $\emptyset \neq H \subseteq G$ แล้วเรียบร้อย
ขากลับ สมมติว่า $a,b^{-1} \in H$ for all $a,b \in H$
ชัดเจนว่า $(H,*)$ มีสมบัติการจัดหมู่
ต่อไปจะแสดงว่า $H$ มีเอกลักษณ์
เนื่องจาก $\emptyset \neq H$ ดังนั้นจะมี $a \in H$ จากสมมติฐานจะได้ว่า $e=a*a^{-1} \in H$
ต่อไปจะแสดงว่า $H$ มีตัวผกผัน
ให้ $x \in H$ ตอนนี้เรามี $e \in H$ แล้ว ดังนั้นจากสมมติฐาน ทำให้ได้ว่า $x^{-1}=e*x^{-1} \in H$
ต่อไปจะแสดงว่า $H$ ปิด
ให้ $a,b \in H$ จากการมีตัวผกผันเราจะได้ว่า $b^{-1} \in H$ และจากสมมติฐานเราได้ว่า $a*b=a*(b^{-1})^{-1} \in H$
นั่นคือ $(H,*)$ เป็นกรุปครับ
|