อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ชีวิตคือคณิตศาสตร์
3.กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงใดๆ และมีสมบัติดังนี้
1) $x+y+z=-1$
2) $xy+xz+yz = -1$
จงหาค่าของ $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}$
|
$\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}=\dfrac{3xyz+2(xy+yz+zx)+(x+y+z)}{xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1}=\dfrac{3xyz-3}{xyz-1}=3$
$x,y,z$ เป็นรากของพหุนาม $t^3+t^2-t-r$ เมื่อ $r=xyz$
ให้ $a=\dfrac{x}{x+1},b=\dfrac{y}{y+1},c=\dfrac{z}{z+1}$
จะได้ $x=\dfrac{a}{1-a},y=\dfrac{b}{1-b},z=\dfrac{c}{1-c}$
ดังนั้น
$\left(\dfrac{a}{1-a}\right)^3+\left(\dfrac{a}{1-a}\right)^2-\left(\dfrac{a}{1-a}\right)^3-r=0$
จัดรูปจะได้ $(1-r)a^3-3(1-r)a^2+(1-3r)a+r=0$
ดังนั้น $a,b,c$ เป็นรากของ $(1-r)s^3-3(1-r)s^2+(1-3r)s+r=0$
จึงได้ $a+b+c=\dfrac{3(1-r)}{1-r}=3$