อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine
5. หาจำนวนจริง $x>0$ ซึ่ง
$$1+\frac{6}{1+x}+\frac{15}{(1+x)^2}+\frac{28}{(1+x)^2}+\cdots=\frac{27}{4}$$
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$S = 1+\frac{6}{1+x}+\frac{15}{(1+x)^2}+\frac{28}{(1+x)^2}+\cdots ...(1)$
$\frac{S}{1+x} = \frac{1}{1+x}+\frac{6}{(1+x)^2}+\frac{15}{(1+x)^3}+\frac{28}{(1+x)^4}+\cdots ...(2)$
(1)-(2), $\frac{x}{1+x}S = 1+ \frac{5}{1+x} + \frac{9}{(1+x)^2} + \frac{13}{(1+x)^3 }+ \cdots ... (3)$
$\frac{x}{(1+x)^2}S = 1+\frac{5}{(1+x)^2} + \frac{9}{(1+x)^3} + \frac{13}{(1+x)^4}+ \cdot ... (4)$
(3)-(4), $\frac{x^2}{(1+x)^2}S = 1 + \frac{4}{1+x} + \frac{4}{(1+x)^2} + \frac{4}{(1+x)^3} + \cdots = 1+\frac{\frac{4}{1+x}}{\frac{x}{1+x}} = \frac{x+4}{x}$
ดังนั้น $S = \frac{x+4}{x}\cdot \frac{(1+x)^2}{x^2} = \frac{27}{4} = 3(\frac{3}{2})^2 \iff x = 2 $ เมื่อ $x > 0$