สังเกตุว่า $2^{1999}x5^{1999}= 10^{1999}$ ซึ่งจะมีจำนวนหลักเท่ากับ 2000 พอดีนะครับ
จากที่สมมติว่า $2^{1999}$ มีหลักอยู่ m และ $5^{1999}$ มีหลักอยู่ n
ดังนั้นเราสามารถเขียน $2^{1999}=Ax10^{m-1}$ และ $5^{1999}=Bx10^{n-1}$ ซึ่ง 1<A,B<10
ดังนั้น $2^{1999}x5^{1999}=10^{1999} =AB x10^{m+n-2}$
แต่เนื่องจาก $10^{1999} =AB x10^{m+n-2}$ และเหตุผลของการหารลงตัว จะได้ว่า AB มันต้อง เป็น 1, 10 หรือ 100 แต่เป็น 1,100 ไม่ได้เนื่องจาก 1<A,B<10
ดังนั้น AxB=10
ดังนั้น $10^{1999}=10^{m+n-1}$ ดังนั้น m+n-1=1999 ดังนั้น m+n=2000