[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

6. ถ้าสมการ $a \sin x + b \cos x +c =0$ มีคำตอบสำหรับจำนวนจริง $x$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $a^2+b^2 \ge c^2$

เมื่อ $a+b+c=0$ แล้ว $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=0$
$a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x +c^2+2(ab\sin x cos x+c(a \sin x + b \cos x)) =0$
$a^2-a^2\cos^2 x + b^2 \cos^2 x +c^2+2(ab\sin x cos x-c^2) =0$
$a^2-a^2\cos^2 x + b^2 \cos^2 x -2b \cos x (c+b \cos x ) =c^2$
$a^2+ (b^2-a^2) \cos^2 x -2b^2 \cos^2 x-2bc \cos x =c^2$
$a^2- (b^2+a^2) \cos^2 x -2bc \cos x =c^2$
$(b^2+a^2) \cos^2 x+2bc \cos x+c^2-a^2=0$

ค่า $\cos x$ มีคำตอบเมื่อ $(2bc)^2-4(b^2+a^2)(c^2-a^2)\geqslant 0$
$4b^2c^2-4(b^2c^2-a^2b^2+a^2c^2-a^4)\geqslant 0$
$a^4-a^2c^2+a^2b^2\geqslant 0$
$a^2(a^2+b^2) \geqslant a^2c^2$
$a^2(a^2+b^2-c^2) \geqslant 0$
$a^2+b^2 \geqslant c^2$ หรือ $a^2 \geqslant 0$