อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine
6. ถ้าสมการ $a \sin x + b \cos x +c =0$ มีคำตอบสำหรับจำนวนจริง $x$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $a^2+b^2 \ge c^2$
|
ข้อนี้ผมชอบแบบนี้นะ สวยดี
สร้าง $\theta \in [0,2 \pi )$ ซึ่ง $\cos \theta = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ และ $\sin \theta = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
ได้ว่าสมการเดิมคือ $\sqrt{a^2+b^2} \cdot \sin (x+ \theta )=-c$
แต่ $|\sin (x+ \theta)| \le 1$ ดังนั้น $|c| \le |\sqrt{a^2+b^2}|$
ได้ $a^2+b^2 \ge c^2$
(ในกรณีที่ $a=b=0$ สมการมีคำตอบเมื่อ $c=0$ ซึ่งก็สอดคล้องเงื่อนไข)