เคยเห็นว่ามีสองข้อที่น่าสนใจดี
_______________________________________________________________________________
1. ให้ $a,b \in \mathbb{R}$ ซึ่งสอดคล้องสมการ $\log (1+a^2) - \log ab - 2 \log 2 = 1 - \log (100+b^2)$
จงหาค่า $a+b$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
ชัดเจนว่าไม่มีตัวใดมีค่าเป็น 0 ได้ (ดูจาก $\log ab$)
จัดรูปเป็น $a^2b^2+100a^2+b^2+100=40ab$
และสังเกตว่า LHS แต่ละพจน์เป็นบวกเสมอ ใช้ AM-GM กับ LHS ได้ว่า
$a^2b^2+100a^2+b^2+100 \ge 40ab$
นั่นคือ อสมการเป็นสมการ ซึ่งเกิดเมื่อ $a^2b^2=100a^2=b^2=100$
ดังนั้น $(a,b)=(-1,-10),(1,10)$
ได้ $a+b=-11,11$
_______________________________________________________________________________
2. หาจำนวนเต็ม $n$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ
$$\left\lfloor\,\frac{n}{1!}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{n}{2!}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{n}{3!}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\,\frac{n}{2554!}\right\rfloor = 2011$$
จำนวนเต็ม n ซึ่งสอดคล้องสมการต้องไม่เป็นลบ เพราะทำให้ LHS ติดลบ
เพราะอนุกรม $\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\cdots=e$ ลู่เข้าอย่างรวดเร็ว จึงใช้การประมาณว่า $\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{2554!} = e-1$
และเพราะ $\left\lfloor\, x \right\rfloor \le x$ สำหรับทุกจำนวนจริง x ดังนั้น
$$2011 \le n \Big( \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{2554!} \Big) < n(e-1)$$
$$n > \frac{2011}{e-1} > 1170$$
แทน $n=1171$ ได้ LHS=2009
แทน $n=1172$ ได้ LHS=2011
แทน $n=1173$ ได้ LHS=2012
และถ้ามากกว่านี้ก็ยิ่งทำให้ LHS มีค่าเพิ่มขึ้น คำตอบจึงเป็น $n=1172$ เพียงคำตอบเดียว