ใช้ row operation ก็ง่ายดีครับ ผมเน้นอึดมากไปหน่อย
$\vmatrix{(a-1)^2 & a^2 & (a+1)^2 \\ (b-1)^2 & b^2 & (b+1)^2 \\ (c-1)^2 & c^2 & (c+1)^2}=\vmatrix{-2a+1 & a^2 & 2a+1 \\ -2b+1 & b^2 & 2b+1 \\ -2c+1 & c^2 & 2c+1}$
$=\vmatrix{2 & a^2 & 2a+1 \\ 2 & b^2 & 2b+1 \\ 2 & c^2 & 2c+1}$
$=2\vmatrix{1 & a^2 & 2a+1 \\ 1 & b^2 & 2b+1 \\ 1 & c^2 & 2c+1}$
$=2\vmatrix{1 & a^2 & 2a \\ 1 & b^2 & 2b \\ 1 & c^2 & 2c}$
$=4\vmatrix{1 & a^2 & a \\ 1 & b^2 & b \\ 1 & c^2 & c}$
$=-4\vmatrix{1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2}$
ซึ่งตัวสุดท้ายนี้อาจจะใช้สูตร $\det$ ของ
Vandermonde matrix ก็ได้ครับ