ข้อ 1. มีสูตรของ Polya ครับ
ดูในนี้ ซึ่งอันนี้จะเกินหลักสูตรครับ
จะได้ จำนวนวิธี $= \frac{1}{6}[\frac{6!}{2!2!2!} + \frac{3!}{1!1!1!}] = 16$
ซึ่งคงไม่อยู่ในวิสัยที่จะเขียนแจกแจงออกมาได้ครับ
และผมก็ยังไม่เข้าใจที่มาของสูตรครับ
เพราะต้องศึกษาและอ่านเรื่องกรุป + generating function วุ่นวายทีเดียว
แต่ผมเคยลองตรวจสอบโดยการแจกแจงทั้งหมด ก็พบว่าจริงเสมออยู่ครับ
อย่างกรณีข้อนี้ ใน 16 แบบนั้น จริง ๆ แล้วจะแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม คือ
1. กลุ่มที่คาบเท่ากับ 6 เช่น AABBCC หรือ AABCBC หรือ ABACBC เป็นต้น จำนวน 14 กลุ่ม
2. กลุ่มที่คาบเท่ากับ 3 เช่น BCABCA มีอยู่ 2 กลุ่ม
($6\times 14 + 3\times 2 = 90 = \frac{6!}{2!2!2!}$)
==============================================
ข้อ 2. ก่อนจะตอบคำถามนี้ ลองอธิบายให้ได้ก่อนครับ ว่าถ้ามีชาย 4 คน หญิง 4 คน สลับที่ทีละ 2 เป็นวงกลม จะสลับได้กี่วิธี ถ้าอธิบายทุกขั้นอย่างละเอียดได้ ข้อนี้ก็ควรจะทำได้ครับ.
==============================================
ข้อ 3. วิธีคิดแบบหนึ่งก็คือ
ประการแรกเราต้องมองออกก่อนว่า ถ้าใช้สีทั้ง 5 สี แล้วแสดงว่าจะมีอยู่ 1 สีที่ต้องทาบนหมายเลขของลูกเต๋าที่อยู่ตรงข้ามกัน เมื่อเข้าใจตรงนี้ก็สบายแล้วครับ.
ขั้นที่ 1. เลือกมา 1 สี ที่จะเป็นสีที่ทาบนด้านที่อยู่ตรงข้ามกัน เลือกได้ $\binom{5}{1}$
ขั้นที่ 2. เอาสีที่เลือกจากขั้นที่ 1. ไปทาเป็นคู่ ๆ ได้ 3 วิธี เพราะมีแต้ม 3 คู่ที่อยู่ตรงข้ามกัน
ขั้นที่ 3. ตอนนี้มีสีเหลือ 4 สี และมีแต้มอยู่ 4 หน้าที่ยังไม่ได้ทา เราต้องทาให้ครบทุกสี ดังนั้นต้องทาหน้าละสีนั่นเอง ซึ่งทาได้ $4\times3\times2\times1$ วิธี
ดังนั้นทาได้ทั้งหมด $\binom{5}{1}\times3\times4\times3\times2\times1$
ข้อต่อไปนี้ ควรทำควบคู่กันไป เพื่อทดสอบว่าเข้าใจเรื่องทาสีนี้ในระดับหนึ่งแล้วนะครับ.
