อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper
12. สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ กำหนดให้ $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$ จงพิสูจน์ว่า $$nS_n=n+\bigg(\frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{2}{n-2}+\frac{1}{n-1}\bigg)$$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$
|
แล้วเราก็มาถึงข้อสุดท้ายของชุดนี้จนได้ครับ
$$S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$$
$$nS_n=n+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+...+\frac{n}{n-1}+\frac{n}{n}$$
$$=\bigg[(\frac{n}{1}-\frac{1}{1})+(\frac{n}{2}-\frac{2}{2})+...+(\frac{n}{n-1}-\frac{n-1}{n-1})+(\frac{n}{n}-\frac{n}{n})\bigg]+n$$ $$=n+(\frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{2}{n-2}+\frac{1}{n-1})$$