[PP_nine]

ข้อนี้ต้องมองให้เห็นถึงสมบัติพื้นฐานครับ ที่ว่า $z+\bar{z}=2 Re(z)$

จากที่ $|z_i|=1$ ได้ว่า $z_i^{-1}=\bar{z_i}$

กำหนดให้
$$z=\sum_{cyc}\, \bar{z_3}(z_1+z_2)=\sum_{cyc} z_1(\bar{z_2}+\bar{z_3})$$
$$\bar{z}=\sum_{cyc}\, z_3(\bar{z_1}+\bar{z_2})=\sum_{cyc} z_1(\bar{z_4}+\bar{z_5})$$
$$\therefore 2Re(z)=\sum_{cyc} z_1 (\bar{z_2}+\bar{z_3}+\bar{z_4}+\bar{z_5})$$
$$2Re(z)=\sum_{cyc} z_1 (-\bar{z_1})$$
$$2Re(z)=- \sum_{cyc} |z_1|^2$$
$$2Re(z)=-5$$
$$Re(z)=-\frac{5}{2}$$