[gon]

จงหาว่าในบรรดา 100 จำนวนต่อไปนี้ได้แก่ $1^3, 2^3, 3^3, ... , 100^3$ จะมีอยู่ทั้งหมดกี่จำนวน ที่เลขโดดในหลักสิบเป็นจำนวนคี่

ข้อนี้ตอบ 45 เหมือนที่หลายท่านคิดมาแล้วนะครับ

ผมขอเฉลยเวอร์ชันที่ 2. แบบมัธยมต้น (เวอร์ชัน 1 เป็นภาคเด็กประถม )

solution

พิจารณาจำนวนสองหลัก $\overline{ab}$ โดยที่ a เป็นศูนย์ได้
จะได้ว่า $(\overline{ab} )^3 = (10a + b)^3 = 20(50a^3 + 15a^2b) + (30ab^2 + b^3)$
เลขโดดในหลักสิบของ $20(50a^3 + 15a^2b)$ จะเป็นจำนวนคู่เสมอ

พิจารณาวงเล็บหลังคือ $(30ab^2 + b^3)$

กรณีที่ 1. ถ้า a เป็นจำนวนคู่ (0, 2, 4, 6, 8)
แล้วจะได้ว่า $30ab^2$ จะหารด้วย 20 ลงตัว ดังนั้นหลักสิบของ $30ab^2$ จะเป็นจำนวนคู่
ดังนั้นหลักสิบของจำนวนทั้งหมด จะเป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อหลักสิบของ $b^3$ เป็นจำนวนคี่ ซึ่งได้แก่ $6^3 = 216, 8^3 = 512$
ดังนั้นในกรณีนี้จะมี $\overline{ab}$ ได้ทั้งหมด $5 \times 2 = 10$ จำนวน

กรณีที่ 2. ถ้า a เป็นจำนวนคี่ (1, 3, 5, 7, 9)
กรณีที่ 2.1 ถ้า b เป็นจำนวนคู่
แล้วทำให้ $30ab^2$ จะหารด้วย 20 ลงตัว เหมือนกับกรณีที่ 1. นั่นคือ b = 6, 8 เป็นไปได้
ดังนั้นในกรณีนี้จะมี $\overline{ab}$ ได้ทั้งหมด $5 \times 2 = 10$ จำนวน

กรณีที่ 2.2 ถ้า b เป็นจำนวนคี่
แล้วหลักสิบของ $30ab^2$ จะเป็นจำนวนคี่ ดังนั้น ถ้าหลักสิบของจำนวนทั้งหมด เป็นจำนวนคี่ แสดงว่าหลักสิบของ $b^3$ จะต้องเป็นจำนวนคู่ (หรือไม่มีการทดเกิดขึ้นเลย) ซึ่งจะพบว่า b ที่เป็นจำนวนคี่ทั้งหมด ให้ผลลัพธ์ของ $b^3$ ในหลักสิบเป็นจำนวนคู่ทั้งหมด $1^3 = 01, 3^3 = 27, 5^3 = 125, 7^3 = 343, 9^3 = 729$
ดังนั้นในกรณีนี้จะมี $\overline{ab}$ ได้ทั้งหมด $5 \times 5 = 25$ จำนวน

รวมทั้งหมดมี 10 + 10 + 25 = 45 จำนวน