อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133
$\frac{108}{997} < \frac{m}{n} < \frac{110}{999} $
จงหา$m+n$ น้อยสุด เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
|
เห็นหนังสือเล่มหนึ่งเฉลยว่า $\dfrac{m}{n}=\dfrac{109}{997}$
แต่ผมหา $\frac{m}{n}$ ที่ให้ค่า m+n ได้น้อยกว่านั้นอยู่
$\dfrac{108}{997} < \dfrac{m}{n} < \dfrac{110}{999} $
$9\dfrac{9}{110} < \dfrac{n}{m} < 9\dfrac{25}{108} $
$\dfrac{9}{110} < \dfrac{n}{m}-9 < \dfrac{25}{108} $
$4\dfrac{8}{25} < \dfrac{1}{\frac{n}{m}-9} = \dfrac{m}{n-9m} = \dfrac{x}{y} < 12\dfrac{2}{9} $
$m \ge 5$
ต้องการให้ m+n = 10(m)+(n-9m) = 10x+y มีค่าน้อยที่สุด
คาดว่า $\dfrac{1}{\frac{n}{m}-9} = 5$ เป็นค่าที่ 10x+y มีค่าน้อยที่สุดคือ
= 51
พิสูจน์ $x = m \ge 5$
$y \ge 1$ (ถ้า y = 0, หาค่าไม่ได้, ถ้า y < 0, $\dfrac{x}{y} < 0 < 4\dfrac{8}{25}$)
$10x+y \ge 51$
m+n = 10x+y = 51 เป็นค่าที่น้อยที่สุด
Note: $\dfrac{m}{n}=\dfrac{5}{46}$