อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133
|
วิชาพีชคณิตค่าย 1 ปี 2553
จาก $\left \lfloor {x} \right \rfloor\leqslant x<\left \lfloor {x} \right \rfloor+1$ เราได้ว่า $4(\left \lfloor {x} \right \rfloor)^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51\leqslant 4x^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51=0<4(\left \lfloor {x} \right \rfloor+1)^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51$
เมื่อแก้อสมการออกมาเราจะได้ว่า $\frac{3}{2} \leqslant \left \lfloor {x} \right \rfloor< \frac{5}{2} \vee \frac{11}{2} < \left \lfloor {x} \right \rfloor\leqslant \frac{17}{2} $ แต่ $\left \lfloor {x} \right \rfloor \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left \lfloor {x} \right \rfloor=2,6,7,8$ เท่านั้น
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=2 \Rightarrow 2\leqslant x<3$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(2)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{29}}{2} $
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=6 \Rightarrow 6\leqslant x<7$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(6)+51=0 \Rightarrow x=\frac{3\sqrt{21}}{2} $
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=7 \Rightarrow 7\leqslant x<8$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(7)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{229}}{2} $
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=8 \Rightarrow 8\leqslant x<9$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(8)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{269}}{2} $
$\therefore x=\frac{\sqrt{29}}{2},\frac{3\sqrt{21}}{2},\frac{\sqrt{229}}{2},\frac{\sqrt{269}}{2}$
ให้ $A=\frac{2x}{1+x},B=\frac{2y}{1+y} $ จะได้ระบบสมการเป็น $A^3+B^3=-7,AB=-2 \Rightarrow (A+B)((A+B)^2-3(-2))=-7\Rightarrow A+B=-1 \Rightarrow (A,B)=(-2,1),(1,-2)$ จะได้ $(\frac{2x}{1+x},\frac{2y}{1+y})=(-2,1),(1,-2) \Rightarrow (x,y)=(-\frac{1}{2},1),(1,-\frac{1}{2})$
จัดรูปเป็น $(x+y)^2+(625-x+y)^2=625^2$ โดย pythagorus triple : $(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$ พิจารณา $375^2+500^2=625^2,175^2+600^2=625^2,220^2+585^2=625^2,336^2+527^2=625^2$ จากนั้นแก้สมการสองตัวแปรจะได้คำตอบเป็น $(x,y)=(100,75),(130,90),(217,119),(250,125),(375,125),(408,119),(495,90),(525,75)$
ให้$P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)$ จะได้ว่า $P(x)=(x^2-1)Q(x)=(x^3+x^2-1)R(x)-1\Rightarrow 1=(x^3+x^2-1)R(x)-(x^2-1)Q(x)$ จาก Euclidean Algorithm เราได้ $$x^3+x^2-1=(x^2-1)(x+1)+x$$
$$x^2-1=x(x)-1$$ ทำย้อนกลับเราจะได้ว่า $$1=x(x)-(x^2-1)=x((x^3+x^2-1)-(x^2-1)(x+1))-(x^2-1)=(x^3+x^2-1)(x)-(x^2+x+1)(x^2-1)$$
ดังนั้นจึงได้ว่า $P(x)=(x^2-1)(x^2+x+1)=x^4+x^3-x-1$
จัดรูปสมการเป็น $$(x^{2552}-2x^{2551}+x^{2550})+(2x^{2550}-4x^{2549}+2x^{2548})+(3x^{2548}-6x^{2547}+3x^{2546})+...+(1276x^2-2552x+1276)+1277=0 $$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น
$$(x-1)^2[x^{2550}+2x^{2548}+3x^{2546}+...+1276]+1277=0$$ จะได้ $L.H.S>0$ดังนั้น สมการโจทย์จึงไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง