ข้อ 5 จริงๆก็ไม่ยากนะครับ แค่วัดใจคนทำว่ากล้ากระจายหรือเปล่า
อ้างอิง:
FE ค่าย 3 ปี 53
5. กำหนด $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้
(i) $f(m+n)-f(m)-f(n)$ มีค่าเป็น 0 หรือ 1 ทุกจำนวนนับ $m,n$
(ii) $f(2)=0$ และ $f(3)>0$
(iii) $f(9999)=3333$
จงหาค่าของ $f(2010)$
|
จากเงื่อนไขข้อที่ 1
แสดงว่ามีฟังก์ชันสองตัวแปร $a : \mathbb{N}^2 \rightarrow \{ 0,1 \}$ ซึ่งสอดคล้องกับ
$$f(m+n)=f(m)+f(n)+a(m,n)$$
ดังนั้น
$$f(2)=2f(1)+a(1,1)$$
$$0=2f(1)+a(1,1)$$
แต่ $f(1) \ge 0$ และ $a(1,1) \ge 0$ แสดงว่า $f(1)=0$ เท่านั้น
ดังนั้น
$$f(3)=f(1)+f(2)+a(1,2)$$
$$f(3)=a(1,2)$$
แต่จากเงื่อนไขบอกว่า $f(3)>0$ แสดงว่า $f(3)=1$ เท่านั้น
ประเด็นจะอยู่ต่อจากนี้ไป เราจะเริ่มกระจาย $f(9999)$ โดยลดลงทีละ 3 ดังนี้
$$f(9999)=f(9996)+f(3)+a(9996,3)$$
$$f(9996)=f(9993)+f(3)+a(9993,3)$$
$$f(9993)=f(9990)+f(3)+a(9990,3)$$
$$\vdots$$
$$f(6)=f(3)+f(3)+a(3,3)$$
รวมทุกสมการได้ว่า
$$f(9999)=3333f(3)+\sum_{n=1}^{3332} a(3n,3)$$
แทนค่าของฟังก์ชันได้ว่า
$$\sum_{n=1}^{3333} a(3n,3)=0$$
แสดงว่าเป็นไปได้กรณีเดียวคือ
$$a(3,3)=a(6,3)=a(9,3)= \cdots =a(9996,3)=0$$
นั่นคือ $a(k,3)=0$ เมื่อ $3|k$ และ $3 \le k \le 9996$
แต่ว่า $3|2010$ ในทำนองเดียวกัน แสดงว่า
$$f(2010)=f(2007)+f(3)$$
$$f(2007)=f(2004)+f(3)$$
$$\vdots$$
$$f(6)=f(3)+f(3)$$
รวมทุกสมการได้ว่า
$$f(2010)=670f(3)$$
นั่นคือ $f(2010)=670$ #