งั้นเฉลยข้อแรกให้เลยละกัน เฉลยหมดเดี๋ยวไม่สนุก
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis
กำหนด $a,b,c >0$ และ $a+b+c = 3$
$$\sum_{cyc}\frac{a}{1+b^2} \geqslant \frac{3}{2}$$
|
อสมการสมมูลกับ
$$\sum_{cyc} a-\frac{a}{1+b^2} \le a+b+c-\frac{3}{2}$$
$$\sum_{cyc} \frac{ab^2}{1+b^2} \le \frac{3}{2}$$
พิจารณา LHS โดย AM-GM ได้ว่า
$$\sum_{cyc} \frac{ab^2}{1+b^2} \le \sum_{cyc} \frac{ab^2}{2b} = \frac{1}{2} (ab+bc+ca)$$
โดยอสมการ $3(ab+bc+ca) \le (a+b+c)^2$ ได้ว่า
$$\sum_{cyc} \frac{ab^2}{1+b^2} \le \frac{3}{2}$$
ซึ่งสมมูลกับ
$$\sum_{cyc}\frac{a}{1+b^2} \ge \frac{3}{2}$$