อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ CmKaN:
พอดีเพิ่งอ่านน่ะครับ ช่วยแสดงวิธีทำโจทย์ต่อไปนี้หน่อยครับ 
1. จงหาเศษที่เหลือจากการหาร $2^{11}$ หารด้วย $51$
2.จงหาเศษที่เหลือจากการหาร $21^{10}$ หารด้วย $51$
3.จงหาเศษที่เหลือจากการหาร $2^{11}$ หารด้วย $23$
4.จงหารจำนวนเต็ม $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $2^{8}+2^{11}+2^{n}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
|
1. เพราะ $2^9=512\equiv 2\pmod{51}$ ดังนั้น $2^{11}\equiv 8\pmod{51}$
2. เพราะ $7^2\equiv-2\pmod{51}$ ดังนั้น $7^{10}\equiv -32\pmod{51}$
เพราะ $3^5\equiv-12\pmod{51}$ ดังนั้น $3^{10}\equiv 144\equiv-9\pmod{51}$
ดังนั้น $21^{10}\equiv 32\cdot9=288\equiv33\pmod{51}$
3. สังเกตว่า $23\times89=2047$ ดังนั้นเศษคือ $2^{11}-2047=1$
4. เราจะหาจำนวนเต็ม $m,n$ ที่ $2^8+2^{11}+2^n=48^2+2^n=m^2$
เริ่มจาก $2^n=m^2-48^2=(m+48)(m-48)$
เราทราบว่าแต่ละวงเล็บต้องอยู่ในรูปกำลังของสอง ดังนั้นสมมติให้ $m+48=2^k,\ m-48=2^l$ เมื่อ $k,l$ เป็นจำนวนเต็ม
กำจัด $m$ ออกจากทั้งสองสมการจะได้ $96=2^5\cdot3=2^k-2^l=2^l(2^{k-l}-1)$
ดังนั้น $l=5,\ k=7,\ n=l+k=12$
หมายเหตุ: สังเกตว่า $2^8+2^{11}+2^{12}=(2^4)^2+2(2^4)(2^6)+(2^6)^2=(2^4+2^6)^2=80^2$